2007年11月8日星期四
1、如图所示，在△ABC中，AD平分∠ABC，AB+BD=AC，求∠B：∠C的值。
解：解决这类问题可以采用“补短法”或“截长法”，在这里以“补短法“为例说明。
延长AB到M，使BM=BD，并连结DM，则∠M=∠BDM，AM=AC。
∵∠1=∠2，AD=AD
∴△ADM ≌ △ADC
∴∠M=∠C
∴∠ABC=2∠M=2∠C
∴∠B：∠C=2：1
2、如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC = 120°的等腰三角形，以D为定点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求△AMN的周长。
解：在AC延长线上截取CM1=BM，由Rt△BDM ≌ Rt△CDM1，得MD= M1D, ∠MDB=∠M1DC
∴∠MDM1=120°-∠MDB+∠M1DC=120°，又∠MDN=60°，
∴∠NDM1=60°，∵MD= M1D，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN
∴△MDN ≌ △M1DN
∴MN=NM1
∴△AMN的周长为：AM+NM+AN=AM+AN+ NM1=AM+A M1=AB+AC=2
3、锐角三角形用度数表示时，所有角的度数都是正整数，最小角的度数是最大角度数的四分之一，求满足此条件的所有锐角三角形的度数。
解：设锐角三角形最小角度数为x，则最大角度数为4x，令一个角的度数为y，则
x+4x+y=180,x≤y≤4x,4x＜90.解得20≤x＜22.5，所以x=20，21，22
所有锐角三角形的度数为（20，80，80），（21，75，84），（22，70，88）
2007年11月9日星期五
4、在直线L上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形 的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=
解：4
设四个正方形的边长分别为，
则S1+S2=，S3+S4=，∴S1+S2+S3+S4=4.
5、a，b，c为三角形三边长，化简︱a+b+c︱-︱a-b-c︱-︱a-b+c︱-︱a+b-c︱,结果是（ ）
A.0 B.2a+2b+2c C.4a D.2b-2c
解：A
原式=(a+b+c)-(-a+b+c)-(a-b+c)-(a+b-c)=0.
6、已知三角形三个内角的度数都是质数，则这三个内角中必定有一个内角等于（ ）
A.2° B.3° C.5° D.7°
解：A
三个内角和为180°，则必有一个内角为偶数，既是偶数又是质数的只有2.
7、3个边长为2厘米的正方形如图所示，甲的中心在乙的的一个顶点上，乙的中心在丙的一个顶点上，甲与丙不重叠，则甲、乙、丙共覆盖的面积是 平方厘米。
解：10
进行如图所示的割补发现，甲乙、乙丙的重合部分均为四分之一个正方形，
所以总的覆盖面积为4+4+4-1-1=10.
2007年11月15日星期四
8、如图所示，在平行四边形ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC，垂足为F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED的度数。
解：取ED中点G，连结AG，在平行四边形中，AD//BC，又AF⊥BC，则AF⊥AD，
在Rt△AED中，AG=EG=GD.
∵2AB=DE，∴AG=AB，∴∠ABE=∠AGE，∠ADG=∠DAG，∠GAE=∠GEA
∴∠ABG=∠AGB=2∠ADB.
∵∠ADB=∠DBC，∴∠ABC=3∠ADB.
∵∠ABC=75°，∴∠ADB=25°.∴∠AED=90°-∠ADB=65°.
9、如图所示，已知P为平行四边形ABCD内一点，且S△PAB=5，S△PAD=2，则S△PAC等于（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解：因为S△PAB+ S△PCD= S□ABCD=S△DAC，所以，S△PAC= S△DAC- S△PAD- S△PCD=S△PAB- S△PAD=3.
10、如图所示，已知凸四边形ABCD的面积为S，四边AB，BC，CD，DA的第1个三等分点是E、F、G、H，连AF、BG、CH、DE，相邻两连线交于I、J、K、L，又△AEL、△BFI、△CGJ、△DHK的面积分别为a、b、c、d，S1=a+b+c+d，则四边形IJKL的面积为（ ）
A. S-S1 B. S-S1 C. S+S1 D. S+S1
解：SJIKL=SABCD-(S△ABF+S△BCG+S△CDH+S△ADE)+(S△AEL+S△BFI+S△CGJ+S△DHK)
= SABCD-[(S△ABF+ S△CDH)+ (S△BCG +S△ADE)]+(S△AEL+S△BFI+S△CGJ+S△DHK)
=S-(S+S)+ S1=S+S1
2007年11月19日星期一
11、如图所示，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，点M在AD上，且M为AD的中点，CE⊥AB，如果∠CEM=40°，则∠DME的值为（ ）
A. 150° B. 140° C. 130° D. 135° E. 145°
解：A
取BC中点F，连接EF、MF
设∠B=x，那么根据直角三角形和等腰三角形的关系，可以得到
∠BEF=x，∠BFE=180°-2x，∠FEC=∠FCE=90°-x，∠FEM=∠FME=130°-x
根据MF//AB，∠FME=∠MEA=90°－40°=50°，得x=80°
所以∠DME=∠FME+∠DMF=50°+100°=150°.
12、如图所示，已知P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形的四边于E、F、G、H四点，若S四边形AHPE=3，S四边形PFCG=5, 则S△PDB= .
解：S△DEP= S△DGP，S△BPH= S△BPF，
则S四边形CDPN－ S四边形ADPB= S四边形PFCG－S四边形AHPE=5－3=2
又S四边形CDPN－ S四边形ADPB=（S△BCD＋S△PDB）－（S△ABD＋S△PDB）= 2S△PDB
所以S△PDB =1
13、如图所示，已知ABCD是平行四边形，E在AB上，F在AD上，S△BCE =2 S△CDF =SABCD =1，则S△CEF = .
解：连结AC、DE，其中S△BCE =1，S△CDF =，SABCD =4，
由于S△ACB =2，即S△BCE =S△ACB，所以E是AB中点．
同理，AD=4FD.所以S△AEF =S△ADE=×SABCD =.
所以S△CEF= SABCD－S△BCE－S△AEF－ S△CDF=.
14、若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为（ ）
A. 21 B. 29 C. 21或29 D. 22或29 E. 21或22或29
解：选B.当腰为3、4时梯形不存在。
2007年11月26日星期一
15、如下图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E为AC中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，求△ABC的面积。
解：∵ S△GEC=3，S△GDC=4，E为AC中点，
∴ S△AGE= S△GEC=3，
∴ S△ADC= S△AGE + S△GEC + S△GDC =10.
∵ BD =2DC，
∴ S△ABD= 2S△ADC=2×10=20，
∴ S△ABC= S△ABD + S△ADC = 20 + 10 =30，
即△ABC面积为30平方单位。
16、已知，如下图所示，△ABC中，AD是高，AE是中线，若△ABE的周长比△AEC的周长大2，且AB=5，求AC的长。
解：∵ C△ABE= AB + BE + AE，C△ACE= AC + CE + AE .
又∵AE是中线，即BE = EC，
∴ C△ABE－C△ACE = AB－AC = 2.
∵ AB = 5, ∴AC =3.
17、在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC 的中线，且BD将△ABC 的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长。
解：如图所示，设AB=AC=2x. ∵ D是AC的中线，∴AD=CD=AC=x.
① 当AB+AD = 15，BC+CD = 12，即2x + x = 15，x + BC = 12时,解得x=5,BC=7.
② 当AB+AD = 12，BC+CD = 15，即2x + x = 12，x + BC = 15时,解得x=4,BC=11.
∴ 三角形各边长分别为10,10,7或8,8,11.
2007年12月4日星期二
18、如图所示,已知AB∥CD, ∠BAF =∠F,∠EDC =∠E，求∠EOF的度数。在△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长。
解：∵∠BAF =∠F, ∠BAF +∠F +∠ABF = 180°，
∴∠F =（180°-∠ABF）.
同理 ∠E =（180°-∠ECD）
∵AB∥CD, ∴ ∠ABF +∠ECD = 180°,
∴∠EOF = 180°-(∠F+∠E)=90°
19、如图所示, 在△ABC, ∠BAC=50°, ∠B=60°，AE⊥BC，垂足为E，CD平分∠ABC且分别与AB、AE交于点D、F，求 ∠AFC的度数。
解：∵∠BAC+∠B+∠ACB =180°, ∠BAC=50°,∠B=50°,
∴∠ACB =70°.
∵CD平分∠ACB，∴∠BCF =∠ACB =35°
在Rt△CEF中，∵∠CEF =90°，∴∠ECF=35°，
∴∠AFC =∠CEF+∠ECF=125°.
20、如图所示，在△ABC中，AD、BE、CF分别为∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，较于O点.
(1)若∠BAC=70°，∠3=40°，求∠ABC的度数.
(2)求∠1+∠2+∠3的度数.
(3)若∠BAC=70°，求∠BOC的度数.
解：(1) ∵CF平分∠ACB且∠3=40°，
∴∠ACB =2∠2=80°.
又∵∠BAC=70°，∴∠ABC =180°-∠ACB -∠BAC=30°.
(2) ∠1+∠2+∠3 = (∠BAC+∠ABC+∠ACB)= 90°.
(3) ∵∠BAC=70°, ∴∠2+∠3=(∠ABC+∠ACB)= (180°-∠BAC) = 55°,
∴∠BOC=180°-∠2-∠3 = 180°-55°= 125°
21、 ( B4，P195，E12) 如图所示，已知∠BAD=∠CBE=∠ACF，∠FDE=64°，∠DEF=
43°，求△ABC各内角的度数。
解：∵设∠BAD=∠CBE=∠ACF =x. ∵∠FDE=64°, ∠DEF=43°,
则∠ABD=∠ADE-∠BAD =64°- x，∴∠ABC =∠ABD+∠CBE =64°-x+x =64°，
∠BCE=∠FED-∠EBC =43°-x，∴∠ACB = ∠BCE+∠ACF = 43°-x+x =43°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=73°,
∴△ABC各内角分别为64°、43°、73°.
2007年12月7日星期五
22、已知数列 1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…，则数列的第k项是( )
A. ak+ak+1+ak+2+ … +a2k
B. ak-1+ ak+ak+1+ … +a2k-1
C. ak-1+ ak+ak+1+ … +a2k
D. ak-1+ ak+ak+1+ … +a2k-2
解：D 按照数列给出项的形式代入检验一下.
23、写出以下数列的一个通项公式：
(1) 5，7，9，11，13，…；
(2) ，，，，，…；
(3) ，，，，，…；
(4) 5，55，555，5555，55555，…；
答：（1）2n+3；（2）；（3）；（4）
24、写出以下数列的一个通项公式：
(1) 2，3，5，9，17，33，…
(2) 1，0，-1，0，1，-1，…
(3) ，，3，，，12，…
(4) ，，，，，，…
解： (1)将所给数列每项都拆为1和另一个数的和，则数列变形为1+1，2+1，4+1，8+1，…，所求通项公式可写做an=2n-1+1．
(2)由于数列周期出现，联想到三角函数，可给出通项公式an =
(3)将数列，，3，，，12，… 中的3写成，发现规律为分母为常数列3，3，3，3，3，…，而分子为平方数列，因而可以给出通项公式an=n2
(4)将数列改写为，，，，，，…，可看出数列的规律是分母为2，22，222，2222，22222，…的数列，而分子为正负交替的整数列1，-2，3，-4，5，-6，…，可给出通项公式an = .
25、求数列-1，2，-3，4，-5，6…的前n项和Sn．
解：并项求和法：又题设可知a1=1,an=(-1)nn，Sn = -1+2-3+4-5+6-…，将数列相邻两项并为一项，可得Sn = -1+(2-3)+(4-5)+…+(n-1-n)，(n为奇数，其中并项后的各项均等于-1)或Sn = (-1+2)+(-3+4)+…+[-(n-1)-n]，(n为偶数，其中并项后的各项均等于1)
故得(n为奇数)或(n为偶数)
所以 (n=2k+1)， (n=2k)
26、求数列，，，，，，…的前n项和
解：由题设可知，，…
此数列每一项可分裂为两项
则有…=+…+()
27、已知数列的通项公式与前n项和之间的关系满足=2-3，求数列的通项公式和前n项和
解：利用，可以得到
又因为，
所以，也就是说
同理，
即
28、求和：1+11+111+…+11…1
解：11…1=1+10+=
2007年12月11日星期二
29、在等差数列中，若，则=( )
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
解：C
∵3+9+15+17=44，∴，∴。
30、已知等差数列满足…，则有( )
A. B. C. D.
解：C
等差数列中显然有，
∵…，故.
31、设为-2的等差数列，如果…，那么
…( )
A. -182 B. -78 C. -148 D. -82
解：D
∵…且d=-2，
∴…
==50-132=-82.
32、已知数列满足，，求数列的通项公式.
解：由知，
∴数列{}是以=1为首项，为公差的等差数列，
∴=1+,∴.
33、四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四数.
解：设四数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，
则根据题意得即
解得或
故此四数为：8，5，2，-1或1，-2，-5，-8或-1，2，5，8或-8，-5，-2，1.
34、若两个等差数列的前n项和之比是7n+1：4n+27，试求它们的第11项之比.
解：
35、一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，则数列的公差为d=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解：D
∴由可得d=5.
36、在等差数列中：
(1) ，求
(2) ，，求公差d
(3) ，求
解：(1)由于，所以
(2)由于，所以，又，
故或。所以。
(3)由于，所以，.
2007年12月20日星期四
37、已知数列满足，，求通项公式.
解：由数列的递推形式，变形为：，整理比较得，
，也就是说形成了首项是8，公比是2的等比数列，
，.
38、设数列中，而且，求数列的通项公式.
解：数列的递推公式可以写成
即= ，与题设相比较可得k=1，b=0.
，即构成一个首项为2，公比为3的等比数列，所以，即.
39、在等比数列中，，，求通项公式以及.
解：设公比为q，则由已知得解得
∴，.
40、等比数列的公比为-3，第六项为-27，则它的前六项倒数之和为（ ）
解：∵，∴.
∴{}是首项为9，公比为的等比数列，∴.
41、等差数列的公差，，，成等比数列，则=（ ）
解：∵，，成等比数列，∴，即，
解得，∴,.
42、等比数列中，
（1）已知，，求通项公式;
（2）已知，求的值.
解：（1），，∴.
（2）,,∴.
43、在等比数列中，=3，则该数列的前7项的积为（ ）
解：.
44、，三数a，1，c成等差数列，，1，成等比数列，求.
解：由题意得且（即ac=1或-1）
当ac=1时，由知a=1,c=1，与矛盾；
当ac=-1时，，.
45、在等比数列中，已知，，求.
解：∵，∴.
2007年12月25日
46、如图所示，∠BOD的度数是（ ）
A.75° B.80° C.135° D.150°
解：D
连结OC，∠BOC=2∠BAC=70°,∠DOC=2∠DEC=80°,
∠BOD=∠BOC+∠DOC=150°.
47、如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D。若AC=8厘米，DE=2厘米，则OD的长为 厘米。
解：OD=3cm.
∵E是弧AC的中点，即OE⊥AC，∴AD=AC=8cm
在Rt△ADO中，AO2=AD2+OD2，（OD+2）2=16+OD2，∴OD=3cm
48、如图所示，AB是半圆的直径，D是的中点，∠B=40°，则∠A等于（ ）
A.60° B.50° C.80° D.70°
解：D
连结BD
∵D是的中点，∴∠ABD=∠B=20°，
∵AB是半圆的直径, ∴∠ADB=90°，∴∠A=70°.
49、如图所示，△ABC内有一点P，过点P作各边的平行线，把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形。若三个三角形的面积S1，S2，S3分别为1，1，2，则△ABC的面积是 。
解：设△ABC的面积为S，则根据相似三角形的关系，有
，
故.
50、如图所示，在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，则PB= 。
解：PB=
∠APB=∠BPC=120°，∠BAP=60°-∠APB=∠ABC-∠APB=∠CBP，
故△ABP∽△BCP，, ∴PB=.
51、如图所示，在△ABC中，DE//AB//FG，且FG到DE，AB的距离之比为1：2。若△ABC的面积为32，△CDE的面积为2，则△CFG的面积S等于 （ ）
A.6 B.8 C.10 D.12
解：B
由DE//AB//FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以
.又由题设知，所以FD=CD.
于是，.
52、如图所示，三个半径为的圆两两外切，且△ABC的每一边都与其中的两个圆相切，那么△ABC的周长是（ ）
A. B. C. D.
解：B
，,∴
，BD=AE=3，所以△ABC的周长是3（）=.
